题目内容

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
x=acosφ
y=sinφ
(1＜a＜6，φ为参数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为P=6cosφ．射线l的极坐标方程为θ=α，l与C1的交点为A，l与C2除极点外一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（Ⅰ）求C1，C2直角坐标方程；
（Ⅱ）设C1与y轴正半轴交点为D，当α=
π
4
时，求直线BD的参数方程．
分析：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosφ可化为ρ2=6ρcosφ，直角坐标方程为x2+y2-6x=0．曲线C1的直角坐标方程为
x2
a2
+y2=1，当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（a，0），（6，0），由|AB|=4，求得a=2，得出C2直角坐标方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得D（0，1），可求B（3，3），|DB|=
13
，
cosθ=
3
13
13
sinθ=
2
13
13
，直线BD的参数方程可求．
解答：解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosφ可化为ρ2=6ρcosφ，
直角坐标方程为x2+y2-6x=0．
曲线C1的参数方程为
x=acosφ
y=sinφ
(1＜a＜6，φ为参数），易消去φ得
曲线C1的直角坐标方程为
x2
a2
+y2=1，
当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（a，0），（6，0），
∵|AB|=4，∴a=2．
∴C2直角坐标方程
x2
4
+y2=1
（Ⅱ）当α=
π
4
时，由
x2+ y2-6x=0
y=x
得B（3，3）或B（0，0），又B不为极点，∴B（3，3），由（Ⅰ）得D（0，1）
直线BD的参数方程为
x=tcosθ
y=1+tsinθ
（t为参数），因为经过B（3，3），∴|DB|=
13
，∴
cosθ=
3
13
13
sinθ=
2
13
13

∴直线BD的参数方程为
x=
3
13
13
t
y=1+
2
13
13
t
．
点评：本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程之间的互化、应用．考查了直线、圆、椭圆的基本知识．
练习册系列答案
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[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t为参数），若以直角坐标系xoy 的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-
π
4
）．直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC
交于点D．求证：ED2=EB•EC．
B．选修4-2：矩阵与变换
求矩阵M=
-14
26
的特征值和特征向量．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于点．A，B，C，求线段AB的长．
D．选修4-5：不等式选讲
对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．
（2013•辽宁）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ-
π
4
）=2
2
．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为
x=t3+a
y=
b
2
t3+1
（t∈R为参数），求a，b的值．
选修4-4：
坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，曲线C1为x=acosφ，y=sinφ（1＜a＜6，φ为参数）．
在以0为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C2的方程为ρ=6cosθ，射线ι为θ=α，ι与C1的交点为A，ι与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（1）求C1，C2的直角坐标方程；
（2）若过点P（1，0）且斜率为
3
的直线m与曲线C1交于D、E两点，求|PD|与|PE|差的绝对值．
（2011•晋中三模）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为：
x=2cosθ
y=2sinθ
（θ为参数），把曲线c1上所有点的纵坐标压缩为原来的一半得到曲线c2，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2
ρcos(θ-
π
4
)=4．
（1）求曲线c2的普通方程，并指明曲线类型；
（2）过（1，0）点与l垂直的直线l1与曲线c2相交与A、B两点，求弦AB的长．

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