Question

如图，在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D是BC的中点．
（1）求证：AD⊥DC₁；
（2）如果E是B₁C₁的中点，求证：A₁E平面ADC₁．

Answer 1

明：（1）在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC，AD平面ABC，
∴C₁C⊥AD，
又AD⊥C₁D，C₁C∩C₁D=C₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．
∵DC₁平面BCC₁B₁．
∴AD⊥DC₁
（2）由（1）得
∴AD⊥BC，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴D为BC边上的中点，
连接DE，∵点E是B₁C₁的中点，
∴在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形B₁BDE为平行四边形，
∴B₁BED，
又B₁B A₁A，
∴ED A₁A，
∴四边形A₁ADE为平行四边形．
∴A₁EAD，又A₁E平面ADC₁，AD平面ADC₁，
∴A₁E平面ADC₁．