Question

设f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若a＞0，当x∈[-ln2，ln2]，不等式f（x）-m≥0解集为空集，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的定义，利用比较系数法即可解出a=±1；
（2）利用导数研究函数的单调性：当a=-1时f'（x）=-e^x+e^-x，可得在[0，+∞）上f'（x）≤0，在（-∞，0]上f'（x）≥0，从而得出此时函数的增区间为（-∞，0]，函数的减区间为[0，+∞）．同理可得当a=1时，函数的增区间和减区间；
（3）由前面的结论，算出当x∈[-ln2，ln2]时，函数f（x）的最大值为

5

2

．由此可得不等式f（x）-m≥0解集为空集时实数m的取值范围．

解答：解：（1）由f （x）为偶函数知f（-x）=f（x），
即

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

对一切x恒成立，即

1

ae x

+ae x=

ex

a

+

a

ex

恒成立，…（2分）
由此可得a=

1

a

，解之得a=±1…（4分）
（2）若a=-1，则f（x）=-e^x-e^-x，求导数得f'（x）=-e^x+e^-x
在[0，+∞）上f'（x）≤0，在（-∞，0]上f'（x）≥0，
∴a=-1时，函数的增区间为（-∞，0]，函数的减区间为[0，+∞），…（5分）
同理可得a=1时，函数增区间为[0，+∞），函数的减区间为（-∞，0]． …（8分）
（3）若a＞0由（1）知a=1，可得f（x）=e^x+e^-x，
∵f （x）是偶函数及f（x）在[0，+∞）上为增函数，x∈[ln2，ln2]，
∴f（x）∈[f（0），f（ln2）]
∵f（0）=2且f（ln2）=2+

1

2

=

5

2

，可得f(x)∈[2，

5

2

]…（10分）
∴若不等式f（x）-m≥0解集为空集，即f（x）＜m恒成立，只要m＞

5

2

即可，
故实数m的取值范围为（

5

2

，+∞）…（12分）

点评：本题着重考查了函数的奇偶性的定义及其判断、利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及其参数取值范围求法等知识，属于中档题．