Question

设函数f（x）=

ex

a

+

a

ex

，（e为无理数，且e≈2.71828…）是R上的偶函数且a＞0．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是R上的偶函数，可得f（-1）=f（1），即

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，化简得 

1

e

(

1

a

-a)=e（

1

a

-a），故有

1

a

-a=0，a²=1．再由a＞0求得a的值．
（2）由f（x）=e^x+e^-x，可得函数f（x）的导数f′（x）=e^x-

1

ex

，根据当x＞0时，e^x＞1，可得f′（x）＞0，从而得到f（x）在（0，+∞）上为增函数．

解答：解　（1）∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-1）=f（1），∴

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，即  

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，即

1

ae

-

a

e

=

e

a

-ae．
∴

1

e

(

1

a

-a)=e（

1

a

-a），∴

1

a

-a=0，∴a²=1．
又a＞0，∴a=1．
（2）由上可得f（x）=e^x+e^-x．
由于函数f（x）的导数f′（x）=e^x-

1

ex

，当x＞0时，e^x＞1，∴f′（x）=e^x-

1

ex

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，利用导数判断函数的单调性，属于中档题．