Question

已知函数f（x）=ax²+x+1（a＞0）的两个不同的零点为x₁，x₂
（Ⅰ）证明：（1+x₁）（1+x₂）=1；
（Ⅱ）证明：x₁＜-1，x₂＜-1；
（Ⅲ）若x₁，x₂满足lg

x1

x2

∈[-1，1]，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+x+1=0的实数根，利用韦达定理即可求得x₁+x₂=-

1

a

，x₁x₂=

1

a

并带人：（1+x₁）（1+x₂）即可证明结论；
（Ⅱ）利用判别式△＞0，求得0＜a＜

1

4

，分析出x₁+x₂=-

1

a

，x₁x₂=

1

a

，从而证得结论；
（Ⅲ）由lg

x1

x2

∈[-1，1]求出

1

10

≤

x1

x2

≤10，另由：（1+x₁）（1+x₂）=1求得x1=

1

1+x2

-1=-

x2

1+x2

，利用不等式的基本性质分析求得

x1

x2

=-

1

1+x2

．而a=

1

x1•x2

，消元配方即可求得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+x+1=0的实数根，
∴x₁+x₂=-

1

a

，x₁x₂=

1

a

．∴x₁+x₂=-x₁x₂
∴（1+x₁）（1+x₂）①（3分）
（Ⅱ）证明：由于关于x一元二次方程ax²+x+1=0有两个不等实数根x₁，x₂，
故有a＞0且△=1-4a＞0∴0＜a＜

1

4

（4分）
∴

x1+x2=- 1 a ＜-4 x1•x2= 1 a ＞4

（5分）
∴

(x1+1)+(x2+1)≤-2＜0 (x1+1)(x2+1)=1＞0

∴

x1+1＜0 x2+1＜0

即x₁＜-1，x₂＜-1得证．（6分）
（Ⅲ）解：由lg

x1

x2

∈[-1，1]?

1

10

≤

x1

x2

≤10，由①得x1=

1

1+x2

-1=-

x2

1+x2

．
∴

x1

x2

=-

1

1+x2

．∴

1

10

≤-

1

1+x2

≤10，∴

1

11

≤-

1

x2

≤

10

11

（7分）
∴a=

1

x1•x2

=-

1+x2

x22

=-(-

1

x2

)2+（-

1

x2

）=-[(-

1

x2

)-

1

2

]2+

1

4

，（8分）
当-

1

x2

=-

1

2

时，a取最大值为

1

4

；
当-

1

x2

=-

1

11

或-

1

x2

=-

10

11

时，a取最小值

10

121

；（10分）
又因为0＜a＜

1

4

，故a的取值范围是[

10

121

，

1

4

)（12分）

点评：此题是中档题．考查函数最值的应用和一元二次方程根的分布与系数的关系，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．