Question

（本小题满分14分）
已知函数，，且
（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）对于恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）当，且时，试比较与的大小．

Answer 1

（Ⅰ）函数的定义域为  ，证明略
（Ⅱ）①当时，；②当时，
（Ⅲ）当时，  

解：（Ⅰ）由，解得或，
∴ 函数的定义域为                        …………………2分
当时，

∴ 在定义域上是奇函数。                       …………….4分
（Ⅱ）由时，恒成立，
①当时
∴对恒成立
∴ 在恒成立          ………………………6分
设
则

∴当时，
∴ 在区间上是增函数，
∴                                           …………………………8分
②当时
由时，恒成立，
∴对恒成立
∴ 在恒成立              ………………………9分
设
由①可知在区间上是增函数，
∴                                             …………………………10分
（Ⅲ）∵

∴
当时，，=2，∴
当时，，=6，∴
当时，           …………………………12分
下面证明：当时，
证法一：当时，


∴当时，       …………………………14分
证法二：当时，要证明
只需要证明
（1）当时，，，成立
（2）假设，不等式成立，即
那么
∴
又因为
∴
∴时，不等式成立
综合（1）和（2），对，且不等式成立
∴当时，   …………………………14分
证法三：∵时，
构造函数


∴当时，
∴在区间是减函数，
∴当时，
∴在区间是减函数，
时，
时，，即
∴当时，    …………………………14分