Question

函数f（x）=2x²-4x+1（x∈R），若f（x₁）=f（x₂），且x₁＞x₂，则

x 2 1 + x 2 2

x1-x2

的最小值为

2

．

Answer 1

分析：利用二次函数单调函数的对称轴为x=1，由f（x₁）=f（x₂），得到x₁=2-x₂，代入利用基本不等式，即可求出式子的最小值．

解答：解：∵f（x）=2x²-4x+1，
∴二次函数的对称轴为x=1，
又f（x₁）=f（x₂），
∴x₁=2-x₂，x₂=2-x₁，
∵x₁＞x₂，
∴x₁＞1，
则

x 2 1 + x 2 2

x1-x2

=

x 2 1 +(2- x   1 )2

x1-2+x1

=

2 x 2 1 -4 x   1 +4

2x1-2

=

x 2 1 -2x1+2

x1-1

=

(x1-1)2+1

x1-1

=(x1-1)+

1

x1-1

，
∵x₁＞1，
∴x₁-1＞0，
∴由基本不等式得则

x 2 1 + x 2 2

x1-x2

=(x1-1)+

1

x1-1

≥2

(x1-1)• 1 x1-1

=2，
当且仅当x₁-1=

1

x1-1

，即x₁-1=1，即x₁=2时取等号．
∴则

x 2 1 + x 2 2

x1-x2

的最小值为2．
故答案为：2．

点评：本题主要考查二次函数的性质，以及基本不等式的应用，综合性较强，注意基本不等式成立的三个条件．