Question

19．已知定义在区间（-1，1）上的函数$f（x）=\frac{x+a}{{{x^2}+1}}$为奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式并判断函数f（x）在区间 （-1，1）上的单调性；
（2）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数满足f（0）=0求出a，代入f（x）后利用单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论，证明f（x）在区间 （-1，1）上的单调性；
（2）利用奇函数的性质转化不等式f（t-1）+f（t）＜0，根据函数的单调性和定义域列出不等式组，求出t的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）是在区间（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=a=0，则$f（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}$…（2分）
设-1＜x₁＜x₂＜1，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{x_1}{1+x_1^2}-\frac{x_2}{1+x_2^2}=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{（1+x_1^2）（1+x_2^2）}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴${x_1}-{x_2}＜0，1-{x_1}{x_2}＞0，（1+x_1^2）（1+x_2^2）＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数…（6分）
（2）∵f（t-1）+f（t）＜0，且f（x）为奇函数，
∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
又∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}t＜1-t\\-1＜t＜1\\-1＜1-t＜1\end{array}\right.$，解得$0＜t＜\frac{1}{2}$，
故关于t的不等式的解集为$\left\{{t|0＜t＜\frac{1}{2}}\right\}$…（12分）

点评 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，利用单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论证明单调性，注意函数的定义域，以及转化思想，化简、变形能力．