Question

【题目】已知函数.

（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】试题分析：（1）第（1）问 ，先把问题转化成的图象与的图象有两个交点，再利用导数求出 的单调性，通过图像分析得到a的取值范围.(2)第（2）问，先通过函数有两个极值点分析出函数g(x)的单调性，再通过图像研究得到它的零点个数.

试题解析：（1）令，由题意知的图象与的图象有两个交点.

.

当时，，∴在上单调递增；

当时，，∴在上单调递减.

∴.

又∵时，，∴时，.

又∵时，.

综上可知，当且仅当时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点.

（2）因为函数有两个极值点，

由，得有两个不同的根，（设）.

由（1）知，，，且，

且函数在，上单调递减，在上单调递增，

则 .

令，

则 ，

所以函数在上单调递增，

故，.又，；，，

所以函数恰有三个零点.