题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，若f（x）-kx有三个零点，则k的取值范围为________．

$\text{[math]}$
分析：由题意画出图象，利用导数对x分x=0、x＜0、x＞0三种情况各有一个零点时的k的取值范围求出来，再求交集即可．
解答：由题意画出图象：

（1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k×0=0，0是函数f（x）-kx的一个零点；
（2）由函数的图象和单调性可以看出，当x＞0和x＜0时，分别有一个零点．
①．当x＜0时，由 $\text{[math]}$ ，化为 $\text{[math]}$ ＜0，解得 $\text{[math]}$ ；
②当x＞0时，只考虑 $\text{[math]}$ 即可，
令g（x）=ln（x+1）-kx，则 $\text{[math]}$ ，
A．当k≥1时，则g^′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；
B．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
g^′（x）= $\text{[math]}$ ，令g^′（x）=0，解得 $\text{[math]}$ ，列表如下：

由表格可知：当 $\text{[math]}$ 时，g（x）取得极大值，也是最大值，当且仅当 $\text{[math]}$ 时，g（x）才有零点，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =k-lnk-1．
下面证明h（k）=k-lnk-1＞0， $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴h（k）在 $\text{[math]}$ 上单调递减，∴ $\text{[math]}$ =h（k）＞h（1）=1-ln1-1=0，
因此 $\text{[math]}$ 0在 $\text{[math]}$ 时成立．
综上可知：当且仅当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）-kx有三个零点．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值和最值的方法及数形结合、分类讨论的思想方法是解题的关键．