Question

如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得到几何体B-ACD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求AB与平面BCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中△ABC中，BD为AC边上的高，对折后，我们易得BD⊥DA，BD⊥DC，结合线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACD，再由线面垂直的性质，易得AC⊥BD；
（2）由已知中BD=1，BC=AD=2，沿BD将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，结合（1）中BD⊥平面ACD，我们易得到平面BCD⊥平面ACD，AC⊥DC，则∠ABC即为AB与平面BCD所成角，解直角三角形ABC即可求出AB与平面BCD所成角的余弦值．

解答：解：（1）∵△ABC中，BD为AC边上的高
∴几何体B-ACD中，BD⊥DA，BD⊥DC，DA∩DC=D
∴BD⊥平面ACD
又∵AC?平面ACD
∴AC⊥BD；
（2）由（1）中BD⊥平面ACD，BD?平面BCD
∴平面BCD⊥平面ACD

∵BD=1，BC=AD=2，使得∠ADC=30°
∴AB=

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，AC=1，AC⊥DC，BC=2
∴∠ABC即为AB与平面BCD所成角
则cos∠ABC=

2 5

5

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的性质，其中正确理解在图形的翻折过程中，哪些直线的位置关系是不变的，进而得到相关直线垂直的有用信息是解答本题的关键．