Question

已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F₁，F₂，点P是椭圆上一点，，且△PF₁F₂的三边构成公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，求椭圆方程；
（Ⅲ） 若c=1，点P在第一象限，且△PF₁F₂的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点P的坐标﹒

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意：A（-a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），设P（s，t），利用向量的坐标及，即可求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）不妨设|PF₁|＜|PF₂|，先确定|PF₁|=2c-1，|PF₂|=2c+1，可得，由此可求椭圆方程；
（Ⅲ）法一：先求出椭圆方程，设△PF₁F₂的外接圆方程，利用F₁（-1，0）和P（s，t）在圆上，可表示圆心坐标与半径，利用△PF₁F₂的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即两圆相切，且是内切，即可求得结论；
法二：先求出椭圆方程，由题△PF₁F₂的外接圆圆心必在y轴上，设其圆心为M（0，m），半径为r，则利用△PF₁F₂的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即可求点P的坐标．
解答：解：（Ⅰ）依题意：A（-a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），设P（s，t），
由得：
即，∴a=2c，∴
∴椭圆的离心率是；
（Ⅱ）不妨设|PF₁|＜|PF₂|，由|F₁F₂|=2c，及△PF₁F₂的三边构成公差为1的等差数列，再结合a=2c得：|PF₁|=2c-1，|PF₂|=2c+1，所以，①×2-②-③得：c²=9，所以椭圆方程是．
（Ⅲ）法一：∵c=1，a=2c，∴a=2，∴b²=3，∴椭圆方程是，
设P（s，t），则，，以椭圆长轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为2，
设△PF₁F₂的外接圆方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，
又F₁，F₂关于y轴对称，故D=0，即圆方程为x²+y²+Ey+F=0，
由F₁（-1，0）和P（s，t）在圆上得：，∴
则圆心坐标为，半径为
△PF₁F₂的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即两圆相切，且是内切，
∴OM=|2-r|或（此方程无解）
解得：，
由得：2t²-9t-18=0，（舍去）或t=-6（舍去）
由得：2t²+9t-18=0，或t=-6（舍去），所以点P坐标．
法二：由题△PF₁F₂的外接圆圆心必在y轴上，设其圆心为M（0，m），半径为r，则，由题s，t，m，r＞0，从而解得，
所以点P坐标为
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查向量知识的运用，考查圆的方程，属于中档题．