Question

已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，且圆C：过A，F₂两点．
（1）求椭圆标准的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=时，证明：点P在一定圆上；
（3）设椭圆的上顶点为Q，证明：PQ=PF₁+PF₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圆C：确定A，F₂两点的坐标，即可求得椭圆方程；
（2）设点P（x，y），因为F₁（-，0），F₂（，0），则可求，，利用β-α=，及差角的正切公式，即可证得结论；
（3）利用两点间的距离公式，计算|PQ|²=12-4y，计算出（|PF₁|+|PF₂|）²，即可得到结论．
解答：（1）解：圆与x轴交点坐标为，，
故，所以b=3，
∴椭圆方程是：．
（2）证明：设点P（x，y），因为F₁（-，0），F₂（，0），则=tanβ=，=tanα=，
因为β-α=，所以tan（β-α）=-．
因为tan（β-α）==，所以=-．
化简得x²+y²-2y=3．
所以点P在定圆x²+y²-2y=3上．
（3）证明：∵|PQ|²=x²+（y-3）²=x²+y²-6y+9，x²+y²=3+2y，∴|PQ|²=12-4y．
又|PF₁|²=（x+）²+y²=2y+6+2x，|PF₂|²=（x-）²+y²=2y+6-2x，
∴2|PF₁|×|PF₂|=2=4，
因为3x²=9-3y²+6y，所以2|PF₁|×|PF₂|=4，
∵β=α+＞，又点P在定圆x²+y²-2y=3上，∴y＜0，
所以2|PF₁|×|PF₂|=-8y，
从而（|PF₁|+|PF₂|）²=|PF₁|²+2|PF₁|×|PF₂|+|PF₂|²=4y+12-8y=12-4y=|PQ|²．
所以|PQ|=|PF₁|+|PF₂|．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查差角的正切公式，考查距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．