题目内容

已知抛物线C1：y2＝4x的焦点与椭圆C2：＝1的右焦点F2重合，F1是椭圆的左焦点；

(Ⅰ)在△ABC中，若A(－4，0)，B(0，－3)，点C在抛物线y2＝4x上运动，求△ABC重心G的轨迹方程；

(Ⅱ)若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，求cosα·cosβ的值及△PF1F2的面积．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)设重心G(x，y)，则整理得将(*)式代入y2＝4x中，得(y＋1)2＝　∴重心G的轨迹方程为(y＋1)2＝　　6分

　　(Ⅱ)∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y2＝4x得F2(1，0)，∴b2＝8，椭圆方程为．设P(x1，y1)，由得，∴x1＝，x1＝－6(舍)．

　　∵x＝－1是y2＝4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1．

　　设点P到抛物线y2＝4x的准线的距离为PN，则|PF2|＝|PN|．

　　又|PN|＝x1＋1＝，∴．

　　过点P作PP1⊥x轴，垂足为P1，在Rt△PP1F1中，cosα＝在Rt△PP1F2中，cos(π－β)＝，cosβ＝，∴cosαcosβ＝．

　　∵x1＝，∴|PP1|＝，∴　　12分


练习册系列答案
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已知抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的焦点为F2，其准线与x轴交于点F1，以F1，F2为焦点，离心率为
12
的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的标准方程及其右准线的方程；
（2）用m表示P点的坐标；
（3）是否存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．
已知抛物线C1：y2=x+7，圆C2：x2+y2=5．
（1）求证抛物线与圆没有公共点；
（2）过点P（a，0）作与x轴不垂直的直线l交C1，C2依次为A、B、C、D，若|AB|=|CD|，求实数a的变化范围．
（2012•河北模拟）已知抛物线C1：y2=2px和圆C2：(x-
p
2
)2+y2=
p2
4
，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则
AB
•
CD
的值为
p2
4
p2
4
．
已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：
y2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．
（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
=λ1
AF
， 
NB
 =λ2
BF
，求证：λ1+λ2为定值．
（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P'、Q'，
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
 +1=0，若点S满足：
OS
= 
OP
 +
OQ
，证明：点S在椭圆C2上．
精英家教网已知抛物线C1：y2=4x，圆C2：（x-1）2+y2=1，过抛物线焦点F的直线l交C1于A，D两点（点A在x轴上方），直线l交C2于B，C两点（点B在x轴上方）．
（Ⅰ）求|AB|•|CD|的值；
（Ⅱ）设直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为m、n、p、q，且满足m+n+p+q=3
2
，并且|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，求出所有满足条件的直线l的方程．

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