Question

（2012•河北模拟）已知抛物线C₁：y²=2px和圆C2：(x-

p

2

)2+y2=

p2

4

，其中p＞0，直线l经过C₁的焦点，依次交C₁，C₂于A，B，C，D四点，则

AB

•

CD

的值为

p2

4

．

Answer 1

分析：法一：利用特殊位置法解决，当直线l垂直x轴时就可得结果．
法二：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|-|BF=x₁+

p

2

-

p

2

=x₁，同理|CD|=x₂，由此能够求出

AB

•

CD

的值．

解答：解：法一：当直线l垂直于x轴时，
|AB|=|CD|=p-

p

2

=

p

2

，

AB

•

CD

=

p2

4

法二：设抛物线的焦点为F，
则|AB|=|AF|-|BF=x₁+

p

2

-

p

2

=x₁，
同理|CD|=x₂，
又

AB

•

CD

=|AB||CD|=x₁x₂=

p2

4

．
故答案为：

p2

4

．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．