Question

【题目】一动圆与圆外切，与圆内切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程．

（2）设过圆心的直线与轨迹相交于两点，（为圆的圆心）的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：（1）利用动圆与圆外切，与圆内切，可得 ，由椭圆定义知是以为焦点的椭圆，从而可得动圆圆心的轨迹的方程；（2）当最大时，也最大，内切圆的面积也最大，表示出三角形的面积，利用换元法，结合导数，可求得最值.

试题解析：（1）设动圆圆心为，半径为，即可求得结论.

由题意，动圆与圆外切，与圆内切，，由椭圆定义知在为焦点的椭圆上，且，，动圆圆心的轨迹的方程为.

（2）如图，设内切圆的半径为，与直线的切点为，则三角形的面积 ，当最大时，也最大，内切圆的面积也最大，设，则

，由，得，解得，，令，则，且，有，令，则，当时，在上单调递增，有，，即当时，有最大值，得，这时所求内切圆的面积为存在直线，的内切圆的面积最大值为.