Question

底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a,PA⊥平面ABCD，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1.

(1)求二面角E—AC—D的大小；

(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？若存在，求出点F；若不存在，请说明理

由.

Answer 1

解:（1）作EM⊥AD于M，∵PA⊥平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

∴EM⊥平面ABCD.

作MN⊥AC于N，连结NE，则NE⊥AC.

∴∠ENM即为二面角E—AC—D的平面角，

∵EM=PA=a,AM=a,

MN=AM·sin60°=a·=a.

∴tanENM=.

∴∠ENM=30°.

∴二面角E-AC—D的大小为30°.

(2)解法1：取PC中点F，PE中点Q，连结FQ、BF、BQ，设AC∩BD=O,连OE，

则OE∥BQ,QF∥CE,∴平面BQF∥平面ACE.

∴BF∥平面ACE.

∴在棱PC上存在中点F，使BF∥平面AEC.

解法2：建系如图，A（0，0，0），B（a,-a,0）,D(0,a,0),C(a,a,0),P(0,0,a),E(0,a,a),

∴(0,a,a),（a,a,0）(a,a,-a).

设=λ=(λa,λa,-λa),又=(a,a,a),

∴=+=(a(λ-1),(1+λ)a,a(1-λ)

令=λ₁+λ₂,

∴=λ₁(a,a,0)+λ₂(0,a,a),

则即

∴当λ=时，=-+,

即与，共面,此时F为BC中点.又BF平面ACE，∴BF∥平面ACE.

解法3：取PC中点F，由=+=+(+)=+

+=+ (-)+ (-)=

-,

∴与、共面.又BF平面ACE,∴BF∥平面ACE.