Question

在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，E是PD中点．
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

分析：（1）要证PB∥平面ACE，只需证明PB与平面ACE内的一条直线平行即可，连接BD交AC于O，则O为AC的中点，从而OE为三角形PBD的中位线，易知EO∥PB，从而得证；
（2）作EF⊥AD，则EF为三棱锥E-ACD的高，从而可求体积．

解答：（1）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD为菱形，则BO=OD，
连接EO，则EO∥PB
∵EO?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE；
（2）解：作EF⊥AD，则EF∥PA
∵PA⊥底面ABCD，
∴EF⊥底面ABCD，
∵PA=2，∴EF=1
∵底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，
∴S△ACD=

3

4

×4=

3

∴三棱锥E-ACD的体积为

1

3

•

3

•1=

3

3

．

点评：本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．