题目内容
已知抛物线C：y2=4x，直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两点（点A在第一象限）
（1）若|AB|=10，求直线l的方程；
（2）过点A的抛物线的切线与直线x=-1交于点E，求证：EF⊥AB．
（1）若|AB|=10，求直线l的方程；
（2）过点A的抛物线的切线与直线x=-1交于点E，求证：EF⊥AB．
设A（x1，y1）B（x2，y2），
（1）若l⊥x轴，则|AB|=4不适合
故设l：y=k（x-1），代入抛物线方程得k2x2-2（k2+2）x+k2
△=16k2+16＞0∴x1+x2=
．
由|AB|=x1+x2+2=
+2=10，得k2=
直线l的方程为y=±
(x-1)
（2）当y＞0时y′=
•切线的方程：y-y1=
(x-x1)得
E（-1，y1-
），
=（2，
-y1），
=（ x1-1，y1）
•
=2（x1-1）+（
-y1）y1=2（x1-1）+2（1+x1）-4x1=0
∴EF⊥FA，即EF⊥AB．
（1）若l⊥x轴，则|AB|=4不适合
故设l：y=k（x-1），代入抛物线方程得k2x2-2（k2+2）x+k2
△=16k2+16＞0∴x1+x2=
| 2(k2+2) |
| k2 |
由|AB|=x1+x2+2=
| 2(k2+2) |
| k2 |
| 2 |
| 3 |
直线l的方程为y=±
| ||
| 3 |
（2）当y＞0时y′=
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
E（-1，y1-
| 1+x1 | ||
|
| EF |
| 1+x1 | ||
|
| FA |
| EF |
| FA |
| 1+x1 | ||
|
∴EF⊥FA，即EF⊥AB．
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