Question

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，E是SA的中点．

（1）求证：平面BED平面SAB；

（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）45°

【解析】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确得出线面角，属于中档题．

（1）证明平面BED⊥平面SAB，利用面面垂直的判定定理，证明DE⊥平面SAB即可；

（2）作AF⊥BE，垂足为F，可得∠AEF是直线SA与平面BED所成的角，在Rt△AFE中，即可求得结论．

解：（1）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，

∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB． …………………………………………3分

∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，

∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB

∴平面BED⊥平面SAB．(若用向量法请参照给分)……………………………………6分

（2）法一：作AF⊥BE，垂足为F．

由（Ⅰ），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，

则∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．……………………………………………8分

设AD＝2A，则AB＝A，SA＝2 A，AE＝A，

△ABE是等腰直角三角形，则AF＝A．

在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝，

故直线SA与平面BED所成角的大小45°．…………………………………………12分

（2）法二：分别以DA,DC,DS为坐标轴建立坐标系D—xyz，不妨设AD＝2，则

D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，

C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．

＝(2，，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．

设m＝(x₁，y₁，z₁)是面BED的一个法向量，则

，因此可取m＝(－1，，1)．…………………8分

  ……12分