Question

写出下列数列的一个通项公式.

(1)1,-1,1,-1,1,…；

（2）1，-7，13，-19，25，…；

（3）2，，，，，…；

（4），，，，，…；

Answer 1

思路分析:注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，由此归纳出构成规律.写出通项公式.

解:(1)原数列可改写为（-1）²，（-1）³，（-1）⁴，（-1）⁵，…，故此数列的一个通项公式为a_n=(-1)ⁿ⁺¹或a_n=cos (n-1)π或a_n=1,

（2）原数列的各项可以看成数列{a_n}:1,-1,1,-1,…与数列{b_n}:1,7,13,19,25，…对应项的积，又a_n=（-1）ⁿ⁺¹,b_n=1+6(n-1)=6n-5,故通项公式为c_n=(-1)ⁿ⁺¹ (6n-5).

(3)原数列可改写为1+1，2+，3+，4+，5+，…，即1+，2+，3+，4+，5+，…，故其通项公式为a_n=n+.

(4)原数列可改写为，，，，…，故其通项公式为a_n=.

温馨提示

(1)对于给出数列的前几项求数列的一个通项公式这类问题，常分析归纳数列的各项中有关元素与项数的相依关系，有时也将数列的各项结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个基本数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行分析归纳.这就要求我们熟练掌握一些基本数列,如{}、{n²}、{2n1}、{（-1）ⁿ}等.

(2)负号用(-1)ⁿ或(-1)ⁿ⁺¹来调节.

(3)分式形式的数列,分子找通项,分母找通项,要充分借助于分子、分母的关系.

(4)此类问题没有固定模式,主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为熟悉的数列)等方法找出规律.

(5)已知数列的前n项,写出数列的一个通项公式,并非唯一.