Question

19．已知2^x=3^y=5^z，试比较2x、3y、5z的大小．

Answer 1

分析 由3x=3log₃k，4y=4log₄k，6z=6log₆k，利用对数运算法则利用作商法，由此能比较2x、3y、5z的大小．

解答 解：令2^x=3^y=5^z=k，∴x=log₂k，y=log₃k，z=log₅k，
∴2x=2log₂k，3y=3log₃k，5z=5log₅k，
∵$\frac{2x}{3y}$=$\frac{2{log}_{2}k}{3{log}_{3}k}$=$\frac{2{log}_{k}3}{3{log}_{k}2}$=log₈9＞1，
∴2x＞3y，
∵$\frac{3y}{5z}$=$\frac{3{log}_{3}k}{5{log}_{5}k}$=$\frac{3{log}_{k}5}{5{log}_{k}3}$=log₁₄₃125＜1，
∴3y＜5z，
∵$\frac{2x}{5z}$=$\frac{2{log}_{2}k}{5{log}_{5}k}$=$\frac{2{log}_{k}5}{5{log}_{k}2}$=log₃₂25＜1．
∴2x＜5z，
∴5z＜3y＜2x．

点评 本题考查对数的运算法则的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意对数换底公式的合理运用．