Question

直线称为椭圆的“特征直线”，若椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的“特征直线”方程；
（Ⅱ）过椭圆C上一点M（x，y）（x≠0）作圆x²+y²=b²的切线，切点为P、Q，直线PQ与椭圆的“特征直线”相交于点E、F，O为坐标原点，若取值范围恰为，求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 由离心率的值求得，即得特征直线的方程．
（Ⅱ） 用点斜式求出直线PQ的方程，与圆的方程联立求得E的纵坐标y₁ ，同理求得F的纵坐标y₂，再根据点M满足的条件及两个向量的数量积公式求得，由0＜x²≤4b² 进一步化简得，，或 ，结合条件有 b²=1，从而得到 椭圆C的方程．
解答：解：（Ⅰ）设c²=a²-b²（c＞0），则由，得 ，
∴，椭圆的“特征直线”方程为：x±2y=0．
（Ⅱ）根据P、Q是以MO为直径的圆和圆x²+y²=b²的交点，把两圆的方程相减可得
直线PQ的方程，并化为一般式为 xx+yy=b²，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
联立，解得 ．  同理可求  ，，∵M（x，y）是椭圆上的点，
∴，从而 ，
∵0＜x²≤4b² ，∴，∴，或 ，
由条件得  b²=1，故椭圆C的方程为．
点评：本题考查椭圆的简单性质，两个向量的数量积公式，以及不等式的性质的应用．