Question

已知直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

Answer 1

答案：x+y-1=0
解析：

直线l满足的两个几何条件是： (1)过点(3，－2)； (2)在两坐标轴上的截距相等，若设a，b分别为l在两轴上的截距，则有a＝b，但要注意a＝b＝0时的情形． 解法1：依题意，直线l的斜率存在且不为0，设其斜率为k，则可得直线的方程为y＋2=k(x－3)． 令x＝0，得y＝－2－3k；令y＝0，得． 由题意． 解得k=－1，或． ∴l的方程为y＋2＝－(x－3)，或． 即为x＋y－1＝0，或2x＋3y＝0． 解法2：设直线l在两轴上的截距为a． (1)若a＝0，则直线l过原点，此时l的方程为2x＋3y=0． (2)若a≠0，则l的方程可设为． ∵l过点(3，－2)，，即a＝1． ∴直线l的方程为x＋y＝l，即为x＋y－1＝0． 综合(1)(2)可知，直线l的方程为2x＋3y＝0，或x＋y－1＝0． 点拨：对于该题，容易产生如下的错误解法： 错解1：由于直线l的截距相等，故直线l的斜率为±＝l。 若k=1，则直线方程为y＋2=x－3，即x－y－5＝0； 若k=－1，则直线方程为y＋2=－(x－3)，即为x＋y－l＝0. 错解2：由题意，直线在两轴上的截距相等，可设直线的方程为：，由于直线过点（3，－2)则有，∴a=1即所求的方程为x＋y－1=0。 在上述两种错解中，错解1忽视了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0，当k=1时，直线x－y－5=0在两轴上的截距分别为5和－5，它们不是相等的；另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形；错解2中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也产生了漏解。