Question

已知函数f（x）=x³-2x²+1．
（1）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值；
（2）求曲线f（x）在点（1，0）处切线方程；
（3）若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上存在递增区间，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，令导数大于0解出其增区间，令导数小于0解出其减区间，分析出函数在区间[-1，1]上的单调性后，进而可求出最大值．
（2）根据（1）中导函数的解析式，求出f′（1）即切线的斜率，代入点斜式方程，可得答案．
（3）若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上存在递增区间，则不等式3x²-4x-m＞0在区间[-2，2]上有解，即当x=-2时，3x²-4x-m＞0．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-2x²+1
∴f′（x）=3x²-4x，由f′（x）=0得x₁=0，x₂=

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当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，1]时，f′（x）＜0
故函数f（x）在[-1，1]上，当x=0时，取最大值为1
（2）由（1）中f′（x）=3x²-4x可得
f′（1）=-1
故曲线f（x）在点（1，0）处切线斜率为-1
故曲线f（x）在点（1，0）处切线方程为：y=-（x-1）
即x+y-1=0
（3）g（x）=f（x）-mx=x³-2x²-mx+1
则g′（x）=3x²-4x-m，
若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上存在递增区间，
故不等式3x²-4x-m＞0在区间[-2，2]上有解
故当x=-2时，3x²-4x-m=20-m＞0
解得m＜20

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究曲线上某点的切线方程，是导数的综合应用，难度中档．