Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（11）记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N⁺
证明：对任意的n∈N⁺，不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

＞

n+1

成立．

Answer 1

分析：（1）由已知得 S_n=2ⁿ+r，利用数列中a_n与 S_n关系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

，求{a_n}的通项公式，再据定义求出r的值；
（2）由（1）知，a_n=2^n-1，所以b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n，则

bn+1

bn

=

2n+1

2n

，所以

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

…

2n+1

2n

，再用数学归纳法证明不等式

3

2

•

5

4

…

2n+1

2n

＞

n+1

成立．

解答：解：（1）因为对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上
所以得S_n=2ⁿ+r，
当n=1时，a₁=S₁=2+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+r-（2^n-1+r ）=2^n-1，
又因为{a_n}为等比数列，所以公比为2，r=-1，
（2）由（1）知，a_n=2^n-1，
∴b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n
则

bn+1

bn

=

2n+1

2n

，
所以

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

…

2n+1

2n

下面用数学归纳法证明不等式

3

2

•

5

4

…

2n+1

2n

＞

n+1

成立．
①当n=1时，左边=

3

2

，右边=

2

，因为

3

2

＞

2

，所以不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即

3

2

•

5

4

…

2k+1

2k

＞

k+1

成立．
则当n=k+1时，左边=

3

2

•

5

4

…

2k+1

2k

•

2k+3

2k+2

＞

k+1

•

2k+3

2k+2

=

(2k+3)2 4(k+1)

=

(k+1)+1+ 1 4(k+1)

＞

k+2

所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．
∴不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

＞

n+1

成立．

点评：本题重点考查数学归纳法，考查等比数列的定义，解题的关键是利用数列中a_n与 S_n关系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

，正确掌握数学归纳法的证题步骤．