Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x-5）=F（5-x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）函数h(x)=ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k有几个零点？

Answer 1

分析：（1）先表示出F（x）的表达式，再根据对任意实数x，恒有F（x-5）=F（5-x）得到F（x）-F（-x）=0，我们可以求出b的值，进而可确定函数f（x）的解析式；
（2）利用导数法，求出h（x）=ln（1+x²）-

1

2

f（x）的极值，将k与极值进行比较，即可得到结论

解答：解：（1）由题设得F（x）=x²+bsinx，…（1分）
∵F（x-5）=F（5-x），
∴F（-x）=F（x），…（2分）
所以x²-bsinx=x²+bsinx
所以bsinx=0对于任意实数x恒成立．
∴b=0．…（3分）
故f（x）=x²-2．…（4分）
（2）令y=ln(1+x2)-

1

2

f(x)，
则y′=

2x

1+x2

-x=-

(x+1)x(x-1)

1+x2

．…（6分）
令y′=0，则x=-1，0，1，
当x变化时，y′，y的变化列表如下．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y′	+	0	-	0	+	0	-
y	递增[来源：．Com]	极大值ln2+ 1 2	递减	极小值1	递增	极大值ln2+ 1 2	递减

…（9分）
∴k＞ln2+

1

2

时，无零点；
k＜1或k=ln2+

1

2

时，有两个零点；
k=1时有三个零点；
1＜k＜ln2+

1

2

时，有四个零点．…（12分）

点评：本题考查利用奇函数的性质求函数的解析式，考查了函数的零点以及利用导数研究函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．