Question

如图,给出定点A(a,0)(a＞0)和直线l:x=-1,B是直线l上的动点,∠BOA的平分线交AB于C点,求点C的轨迹方程.

Answer 1

思路解析：根据角的平分线这一条件,可以考虑点到两边的距离;也可以考虑角的关系;还可以考虑角的平分线定理.

解法一:由题意,设B(-1,t)(t为参数),则直线OB的方程为y=-tx;设点C(x,y),则有0≤x＜a.由OC平分∠AOB知,∠AOB平分线上的点C到OA、OB距离相等.

∴|y|=.                                                                ①

又∵AB的斜率为=-,

∴直线AB的方程为y=-(x-a).

由于x-a≠0,

∴t=-y.                                                                  ②

将②代入①并化简,得y²［1+y²()²］=［y-］².

整理,得y²［(1-a)x²-2ax+(1+a)y²］=0.

当y≠0时,(1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0＜x＜a);

当y=0时,由②知t=0,∠AOB=180°,C(0,0)仍满足上式,此时x=0.

综上得,C点的轨迹方程为(1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0≤x＜a.

解法二:设C(x,y)(0≤x＜a＝并设OC的斜率为k,则直线OC的方程为y=kx.            ①

由OC平分∠AOB,∴OB的斜率为.∴直线OB的方程为y=x.

令x=-1,得点B(-1,-).又点A(a,0),

∴AB的斜率为=.

∴直线AB的方程为y=(x-a).                                      ②

当点C不在原点,即x＞0时,①化为k=,代入②得

y²［(1-a)x²-2ax+(1+a)y²］=0.(以下同解法一,略去).

解法三:设点C(x,y),则0≤x＜a.当x≠0时,k_OC=.由OC平分∠AOB,

∴∠AOB=2∠AOC.∴k_OB===.

另一方面,点B横坐标为-1,

∴=k_OB.∴y_B=,即B(-1,).

由三点A、C、B共线且A(a,0),∴=.

化简,得(1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0.

当x=0时,由题意得点C为原点,即C(0,0)仍满足上面方程.

∴动点C的轨迹方程为(1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0≤x＜a).

解法四:设C(x,y)及点B(-1,t)(t为参数).∵OC平分∠AOB,由三角形内角平分线定理得=.而==,

∴==.由=解得

t=.代入=,

化简,得(1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0≤x＜a),此式即为所求动点C的轨迹方程?.