Question

已知函数f（x）=x²+ax+b，且f（x）的图象关于直线x=1对称．
（1）求实数a的值；  
（2）利用单调性的定义证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=x²+ax+b，且f（x）的图象关于直线x=1对称，知-

a

2

=1，由此能求出a．
（2）由（1）知 f （ x ）=x²-2x+b，再用定义法证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）∵函数f（x）=x²+ax+b，且f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴-

a

2

=1，解得a=-2．…（3分）
（2）根据（1）可知 f （ x ）=x²-2x+b，
下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
设x₁＞x₂≥1，则f（x₁）-f（x₂）…（5分）
=（x12-2x1+b）-（x22-2x2+b）
=（x12-x22）-2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）…（8分）
∵x₁＞x₂≥1，则x₁-x₂＞0，且x₁+x₂-2＞2-2=0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），…（11分）
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．…（12分）

点评：本题考查二次函数的性质及其应用，解题时要认真审题，注意单调性的定义证明方法的灵活运用．