Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]（其中a为常数）．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=-1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，得到对称轴为x=1，再根据二次函数的图象和性质即可得f（x）的最大值和最小值；
（2）对称轴为x=-a，根据f（x）在定义域内是单调函数，所以对称轴在[-5，5]的两侧，列出不等关系即可得答案．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，得到对称轴为x=1，
1∈[-5，5]内，∴f（x）_min=f（1）=1，
-5距离对称轴较远，∴f（x）_max=f（-5）=37，
∴f（x）_min=1，f（x）_max=37．
（2）函数f（x）=x²+2ax+2的对称轴为x=-a，
∵f（x）在定义域内是单调函数，
∴对称轴在[-5，5]的两侧，
∴-a≤-5或-a≥5，
解得，a≤-5或a≥5，
∴a的取值范围为：a≤-5或a≥5．

点评：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的单调性，对于二次函数的性质，一般利用它的图象，结合考虑它的对称轴与开口方向，属于基础题．