题目内容

在数列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N*．
（1）记bn=(an-
1
2
)2，n∈N*，证明：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设cn=（2an-1）2，求
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
的值．
（1）因为an+1-an=
2
an+1+an-1
，
所以an+12-an2-an+1+an=2，----2
因为bn+1-bn=an+12-an2-an+1+an=2，
所以数列{bn}是以
1
4
为首项，2为公差的等差数列----5
bn=
8n-7
4
，
∴an=
1+
8n-7
2
．----8
（2）因为cn=（2an-1）2=8n-7，----10
所以
1
cncn+1
=
1
(8n-7)(8n+1)
=
1
8
(
1
8n-7
-
1
8n+1
)
∴
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1

=
1
8
(
1
8-7
-
1
8+1
)+
1
8
(
1
16-7
-
1
16+1
)+…+
1
8
(
1
8n-7
-
1
8n+1
)
=
1
8
(1-
1
8n+1
)
=
n
8n+1
．----12
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn=
3
bn•bn+1
，Sn是数列{cn}的前n项和，求使Sn＜
m
20
对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
在数列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．
在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的个位数（n∈N*），若数列{an}的前k项和为2011，则正整数k之值为（　　）
（2012•淮南二模）在数列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）记bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式；
（3）对?k∈N+，是否总?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
在数列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）计算a2，a3；
（Ⅱ）求证：{
an-
1
2
3n
}是等差数列；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn．

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