题目内容
已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与X轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*，xn为正数）．（1）试用xn表示xn+1；
（2）若x1=4，记an=lg
，证明{an}是等比数列，并求数列{xn}的通项公式．
【答案】分析：（1）先对函数f（x）=x2-4进行求导，进而可得到过曲线上点（x，f（x））的切线方程，然后令y=0得到关系式xn2+4=2xnxn+1，整理即可得到答案．
（2）首先确定
=
，再利用条件，即可得到数列{an}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{xn}的通项公式．
解答：解：（1）由题可得f′（x）=2x
所以过曲线上点（x，f（x））的切线方程为y-f（xn）=f′（xn）（x-xn），
即y-（xn-4）=2xn（x-xn）
令y=0，得-（xn2-4）=2xn（xn+1-xn），即xn2+4=2xnxn+1
显然xn≠0，∴xn+1=
+
（2）由xn+1=
+
知xn+1+2=
，xn+1-2=
∴
=
∴an+1=lg
=2lg
，即an+1=2an，其中a1=lg3≠0
∴数列{an}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1lg3，即lg
=2n-1lg3，
∴
∴
．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线，以及导数的几何意义，考查等比数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．
（2）首先确定
=，再利用条件，即可得到数列{an}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{xn}的通项公式．解答：解：（1）由题可得f′（x）=2x
所以过曲线上点（x，f（x））的切线方程为y-f（xn）=f′（xn）（x-xn），
即y-（xn-4）=2xn（x-xn）
令y=0，得-（xn2-4）=2xn（xn+1-xn），即xn2+4=2xnxn+1
显然xn≠0，∴xn+1=
+ （2）由xn+1=
+ 知xn+1+2=，xn+1-2=∴
=∴an+1=lg
=2lg，即an+1=2an，其中a1=lg3≠0∴数列{an}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1lg3，即lg
=2n-1lg3，∴
∴
．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线，以及导数的几何意义，考查等比数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|