Question

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的50位顾客的相关数据，如下表所示：

一次购物量n（件）	1≤n≤3	4≤n≤6	7≤n≤9	10≤n≤12	n≥13
顾客数（人）	x	20	10	5	y
结算时间（分钟/人）	0.5	1	1.5	2	2.5

已知这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80%．
（1）确定x与y的值；
（2）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（3）在（2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2分钟的概率．

Answer 1

分析：（1）由表格中的数据计算出，x，y的值．
（2）求出随机变量的分布列，利用分布列求出数学期望．
（3）根据独立事件同时发生的公式，求概率．

解答：（1）依题意得，x+20+10=50×80%，5+y=50×20%，解得x=10，y=5．
（2）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本，将频率视为概率得，
P(X=0.5)=

10

50

=0.2，P(X=1)=

20

50

=0.4，P(X=1.5)=

10

50

=0.2，P(X=2)=

5

50

=0.1，P(X=2.5)=

5

50

=0.1．
所以X的分布列为

X	0.5	1	1.5	2	2.5
P	0.2	0.4	0.2	0.1	0.1

X的数学期望为EX=0.5×0.2+1×0.4+1.5×0.2+2×0.2+2.5×0.1=1.25．
（3）记“该顾客结算前的等候时间不超过2分钟”为事件A，该顾客前面第i位顾客的结算时间为X_i（i=1，2），由于各顾客的结算相互独立，且X₁，X₂的分布列都与X的分布列相同，所以
P（A）=P（X₁=0.5）?P（X₂=0.5）+P（X₁=0.5）?P（X₂=1）+P（X₁=0.5）?P（X₂=1.5）+P（X₁=1）?P（X₂=0.5）+P（X₁=1）?P（X₂=0.5）+P（X₁=1）?P（X₂=1）+P（X₁=1.5）?P（X₂=0.5）
=0.2×0.2+0.2×0.4+0.2×0.2+0.4×0.2+0.4×0.4+0.2×0.2=0.44 为所求．

点评：本题主要考查概率与统计的内容，利用概率公式分别求出概率，然后求出概率的分布列，利用分布列求期望，考查学生的运算能力，综合性较强．