题目内容
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
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一次购物量 |
1至4件 |
5至8件 |
9至12件 |
13至16件 |
17件及以上 |
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顾客数（人） |
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30 |
25 |
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10 |
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结算时间（分钟/人） |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．
（1）确定
的值，并求顾客一次购物的结算时间
的分布列与数学期望；
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过
分钟的概率．（注：将频率视为概率）
（1）
的分布为
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X |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
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P |
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X的数学期望为
.
（2）
【解析】
试题分析：（1）由已知,得
所以
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，
所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，
将频率视为概率得
5分
所以的分布为
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X |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
|
P |
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X的数学期望为
. 9分
（2）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，
为该顾客前面第
位顾客的结算时间，则
.
由于顾客的结算相互独立，且
的分布列都与X的分布列相同，所以
.
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为
. 14分
考点：本小题主要考查随机变量的分布列、期望和相互独立事件同时发生的概率.
点评：求解离散型随机变量问题，首先要找出随机变量的取值，其次要准确求出各个概率，可以用概率和是否为1检验求解是否正确.
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的50位顾客的相关数据，如下表所示：
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一次购物量 |
1≤n≤3 |
4≤n≤6 |
7≤n≤9 |
10≤n≤12 |
n≥13 |
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顾客数（人） |
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20 |
10 |
5 |
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结算时间（分钟/人） |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
（件）已知这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80％.
（1）确定
与
的值；
（2）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间
的分布列与数学期望；
（3）在（2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2分钟的概率.