Question

13．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sin（x+\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）+sin2x+a$的最大值为1．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式化简可得：f（x）=$2sin（{2x+\frac{π}{3}}）+a≤1$，利用正弦函数的性质即可得解a的值．
（Ⅱ）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，即可解得函数的单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{2}}）+sin2x+a=\sqrt{3}cos2x+sin2x+a$=$2sin（{2x+\frac{π}{3}}）+a≤1$，
∴2+a=1，
∴a=-1．
（Ⅱ）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ$，
所以函数的单调递增区间$[{-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ}]，k∈Z$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．