Question

【题目】在三棱柱中， 平面， ， ， ，点在棱上，且．建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）当时，求异面直线与的夹角的余弦值；

（2）若二面角的平面角为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）． （2）．

【解析】试题分析：

(1)结合题中的空间直角坐标系计算可得异面直线与的夹角的余弦值为.

(2)二面角的平面角为，则平面的法向量，据此列方程可解得的值为．

试题解析：

（1）易知， ， ．

因为， ，所以，当时， ．

所以， ．

所以，

．

故异面直线与的夹角的余弦值为．

（2）由可知， ，所以，

由（1）知， ．

设平面的法向量为，

则 即 令，解得， ，

所以平面的一个法向量为．

设平面的法向量为，

则 即 令，解得， ，

所以平面的一个法向量为．

因为二面角的平面角为，

所以，

即，解得或（舍），

故的值为．