Question

已知△ABC的周长为

2

+1，面积为S，且sinA+sinB=

2

sinC．
（ I）求边AB的长；
（ II）若2S=（a+b）²-c²，求tanC的值．

Answer 1

（ I）由题意得AB+BC+AC=

2

+1，
根据正弦定理，BC+AC=

2

AB，
两式相减，得AB=1．…．（4分）
（ II）依题意，得absinC=a²+b²-c²+2ab…（5分）
由余弦定理知：a²+b²-c²=2abcosC…．（6分）
∴absinC=2ab（1+cosC），即sinC=2（1+cosC）…..（7分）
由二倍角公式可得：sin

C

2

cos

C

2

=2cos²

C

2

…..（9分）
又0°＜C＜180°，
∴cos

C

2

≠0，∴sin

C

2

=2cos

C

2

，
即tan

C

2

=2…（10分）
∴tanC=

2tan C 2

1-tan2 C 2

=

4

1-4

=-

4

3

…..（12分）