Question

2．在数列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=$\sqrt{\frac{{{a}^{2}}_{n}+1}{2}}$，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=$\sqrt{\frac{{{a}^{2}}_{n}+1}{2}}$两边同时平方、整理可知2（${{a}_{n+1}}^{2}$-1）=${{a}_{n}}^{2}$-1，进而可知数列{${{a}_{n}}^{2}$-1}是以3为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：依题意，a_n＞0，
∵a_n+1=$\sqrt{\frac{{{a}^{2}}_{n}+1}{2}}$，
∴2${{a}_{n+1}}^{2}$=${{a}_{n}}^{2}$+1，
∴2（${{a}_{n+1}}^{2}$-1）=${{a}_{n}}^{2}$-1，
又∵${{a}_{1}}^{2}-1$=2²-1=3，
∴数列{${{a}_{n}}^{2}$-1}是以3为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴${{a}_{n}}^{2}$-1=$\frac{3}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=$\sqrt{\frac{3+{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}}}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．