Question

（2009•闵行区一模）已知三棱锥P-ABC，PA⊥底面ABC，PA=1，底面ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，D是PC的中点，PC与底面ABC所成角的大小为

π

6

，求异面直线AD与PB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：取BC中点E，连AE，DE，由三角形中位线定理及异面直线夹角的定义可得，∠ADE（或其补角）的大小即为异面直线AD与PB所成的角的大小．结合已知条件解△ADE求出∠ADE的余弦值，进而可得异面直线AD与PB所成角的大小．

解答：解：取BC中点E，连AE，DE，
∵D为PC中点，∴DE∥PB，
∴∠ADE（或其补角）的大小即为异面直线AD与PB所成的角的大小．（2分）
∵PA⊥底面ABC，
∴∠PCA就是PC与底面ABC所成角，即∠PCA=

π

6

，
且PA⊥AB，PA⊥AC，
由已知条件及平面几何知识，得：PC=2，AC=AB=

3

，PB=2，
于是AD=1，DE=1，AE=

6

2

，（8分）
在△ADE中，由余弦定理得cos∠ADE=

AD2+DE2-AE2

2AD•DE

=

1+1- 6 4

2×1×1

=

1

4

（12分）
∴∠ADE=arccos

1

4

，
即异面直线AD与PB所成的角的大小为arccos

1

4

．（14分）

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中构造出∠ADE（或其补角）的大小即为异面直线AD与PB所成的角的大小，是解答本题的关键．