题目内容

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且a+c=3， $数学公式$ ，则△ABC的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：利用同角三角函数的基本关系求出sinB 和 cosB 的值，根据a，b，c成等比数列，可得 b²=ac，再由余弦定理
求出ac的值，由△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ac•sinB，运算求得结果．
解答：在△ABC中，∵ $\text{[math]}$ ，∴B为锐角，且sinB= $\text{[math]}$ ，cosB= $\text{[math]}$ ．
∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，再由余弦定理可得 b²=a²+c²-2accosB，
即 ac=（a+c）²-2ac- $\text{[math]}$ =9- $\text{[math]}$ ，∴ac=2．
则△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ac•sinB= $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，等比数列的定义和性质，求出ac=2，是解题的关键．