Question

1．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{a^2}x+\frac{1}{2}a$（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，x∈[-1，2]，求f（x）的最值．
（Ⅱ）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数在闭区间上的单调性，从而求出函数的最值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f′（x）=（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在[-1，1）递减，在（1，2]递增，
而f（1）=-$\frac{1}{6}$，f（-1）=f（2）=$\frac{7}{6}$，
故最大值$\frac{7}{6}$，最小值-$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）f′（x）=（x+a）（x-a），
令f′（x）=0，x₁=-a，x₂=a，
①当a=0时，f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）_min=f（0）=0不合题意；
②当a＞0时，f（x）在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上为增函数，
∴f（x）_min=f（a）＞0，得0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
③当a＜0时，f（x）在（0，-a）上是减函数，在（-a，+∞）上为增函数，
∴f（x）_min=f（-a）＜f（0）＜0，不合题意．
综上，0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．