Question

（本小题满分12分）

        椭圆的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E交于A，B，两点，|AF|+|BF|=4，的最小值为0.5。

   （I）求椭圆E的方程；

   （II）若直线与椭圆E交于M，N两点（其中），以线段MN为直径的圆过E的右顶点，求证：直线过定点。

Answer 1

解(1)由椭圆的对称性，设A(x₁，y₁)，B(－x₁，－y₁)，F(c，0)，

因为|AF|+|BF|=，

即a=2，在三角形AFB中，

由正弦定理得

因为0≤≤a²，所以≥，∴b=1.

所求椭圆方程为;………5分

(Ⅱ) 由得(1+4k²)x²+8kmx+4m²－4=0.由题意得△>0，即m²－1－4k²<0.(※)

设交点M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则

因为以MN为直径的圆过(2，0)，所以(x₁－2)(x₂－2)+y₁y₂=0，

即(x₁－2)(x₂－2) +(kx₁+m)(kx₂+m)=0，整理得

5m²+16km+12k²=0，(m+2k)(5m+6k)=0，注意到

故解得m=－2k.经检验，满足(※)式.

m=－2k时，直线方程为y=k(x－2)，恒过定点(2，0) ………12分