Question

已知函数f(x)=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

（1）求f(

π

4

)的值；
（2）写出函数函数在(

π

2

，π)上的单调区间和值域．

Answer 1

f(x)=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

=cosx•

(1-sinx)2 cos2x

+sinx•

(1-cosx)2 sin2x

c3

c1

（4分）
（1）当x∈(0，

π

2

)时，f（x）=2-sinx-cosx，故f(

π

4

)=2-

2

．（6分）
（2）当x∈(

π

2

，π)时，|cosx|=-cosx，|sinx|=sinx，
故f(x)=cosx•

1-sinx

-cosx

+sinx•

1-cosx

sinx

=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，（8分）
当x∈(

π

2

，π)时x-

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
故当x∈[

π

2

，

3π

4

]是，函数f（x）单调递增，
当x∈[

3π

4

，π]时，函数f（x）单调递减；函数的值域是(1，

2

]．（12分）