Question

（2013•韶关一模）已知函数f（x）=|x|lnx²．
（1）判断f（x）奇偶性，并求出函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-kx+1有零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）的定义域，然后直接借助于函数的奇偶性的定义进行判断；由函数的导函数的符号判断当x＞0时原函数的增减区间，利用函数的奇偶性得到函数在x＜0时的单调区间，从而求出函数f（x）的单调区间；
（2）把函数f（x）的解析式代入g（x）=f（x）-kx+1，整理后分离出变量k，构造辅助函数h（x）=

|x|•lnx2

x

+

1

x

，分析知该函数为奇函数，利用导数求出当x＞0时函数的极小值，根据奇函数的图象关于原点中心对称求出当x＜0时函数的极大值，则使函数g（x）=f（x）-kx+1有零点的实数k的取值范围可求．

解答：解：（1）f（x）定义域为{x|x≠0}，在数轴上关于原点对称，
且f（-x）=|-x|ln（-x）²=|x|lnx²=f（x），所以f（x）是偶函数．
当x＞0时，f（x）=2xlnx，f′（x）=2（1+lnx）．
由 f′（x）＞0，1+lnx＞0，解得：x＞

1

e

，所以f（x）在(

1

e

，+∞)是增函数；
由 f′（x）＜0，1+lnx＜0，解得：0＜x＜

1

e

．所以f（x）在(0，

1

e

)是减函数．
因为f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，
所以，当x＜0时，f（x）在(-∞，-

1

e

)是减函数，在(-

1

e

，0)是增函数．
所以，f（x）的单调增区间是(

1

e

，+∞)，(-

1

e

，0)；单调减区间是(0，

1

e

)，(-∞，-

1

e

)，
（2）因为g（x）=f（x）-kx+1=|x|lnx²-kx+1．
由g（x）=0，得|x|•lnx²-kx+1=0，k=

|x|•lnx2

x

+

1

x

．
令h（x）=

|x|•lnx2

x

+

1

x

，
当x＞0时，h′(x)=

2x-1

x2

．
当x＞

1

2

，h′（x）＞0，h（x）在(

1

2

，+∞)是增函数；
当0＜x＜

1

2

，h′（x）＜0，h（x）在(0，

1

2

)是减函数．
所以，当x＞0时，h（x）极小值是h(

1

2

)=2-2ln2．
因为h（x）是奇函数，所以，当x＜0时，h（x）极大值是h(-

1

2

)=2ln2-2，
所以 h（x）∈[2-2ln2，+∞）∪（-∞，2ln2-2]，
即k∈[2-2ln2，+∞）∪（-∞，2ln2-2]，函数g（x）有零点．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断方法，考查了利用导数判断函数的单调性，考查了函数有无零点的判断方法，训练了构造函数法求函数的极值，解答的关键是熟悉奇函数在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，是中档题．