Question

已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（-1，0）．
（1）求向量的长度的最大值；
（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．
解答：解：（1）=（cosβ-1，sinβ），则
||²=（cosβ-1）²+sin²β=2（1-cosβ）．
∵-1≤cosβ≤1，
∴0≤||²≤4，即0≤||≤2．
当cosβ=-1时，有|b+c|=2，
所以向量的长度的最大值为2．
（2）由（1）可得=（cosβ-1，sinβ），
•（）=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos（α-β）-cosα．
∵⊥（），
∴•（）=0，即cos（α-β）=cosα．
由α=，得cos（-β）=cos，
即β-=2kπ±（k∈Z），
∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．
点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．