Question

 

如图，已知是正三棱柱，D是AC中点，。

（I）证明

（II）求异面直线所成的角

（III）求以为棱，与为面的二面角的度数。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 证明：（Ⅰ）∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，∴四边形B₁BCC₁是矩形．

连结B₁C交BC₁于E，则B₁E=EC ．

连结DE，在△AB₁C中， ∵AD=DC，∴DE∥AB₁，

又AB₁平面DBC₁，DE平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．               ……4分

（Ⅱ）设D₁是A₁C₁的中点，则DD₁⊥平面ABC．

所以，以DB为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴（如图）建立空间直角坐标系．

设AB=2，则，，，，．

∴，，

∵，∴，

即，AB₁与BC₁所成的角为90°．                                       ………8分

（Ⅲ）∵BC的中点，∴，

∴可取平面CBC₁的法向量为．

设平面BC₁D的法向量为，

则    

∴可取．

∵，

∴面DBC₁与面CBC₁所成的二面角为45°．                             ……………12分