Question

已知函数f(x)=cosx(sinx-

3

cosx)，则（　　）

A．函数f（x）的周期为2π

B．函数f（x）在区间[- π 6 ， π 6 ]上单调递增

C．函数f（x）的图象关于直线x=- π 12 对称

D．函数f（x）的图象关于点( π 6 ，0)对称

Answer 1

f（x）=cosxsinx-

3

cos²x=

1

2

sin2x-

3

2

（cos2x+1）=sin（2x-

π

3

）-

3

2

，
∵ω=2，∴T=π，故选项A错误；
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x-

π

3

∈[-

2π

3

，0]，
当2x+

π

3

∈[-

2π

3

，-

π

2

]时，f（x）单调递减；当2x+

π

3

∈[-

π

2

，0]时，f（x）单调递增，
故选项B错误；
令2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得：x=

1

2

kπ+

5π

12

，k∈Z，
当k=-1时，x=-

π

12

，即函数f（x）的图象关于直线x=-

π

12

对称，故选项C正确；
令2x-

π

3

=kπ，k∈Z，解得：x=

1

2

kπ+

π

6

，k∈Z，
∴当k=0时，x=

π

6

，可得函数图象关于（

π

6

，-

3

2

）对称，故选项D错误，
故选C