题目内容

设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间内存在唯一的零点；
（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设xn是fn（x）在内的零点，判断数列x2，x3，…，xn的增减性．
【答案】分析：（1）根据 fn（）fn（1）=（-）×1＜0，以及fn（x）在区间内单调递增，可得fn（x）在区间内存在唯一的零点．
（2）当n=2，由题意可得函数f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，分当＞1时、当-1≤-＜0时、当0≤-≤1 时三种情况，分别求得b的取值范围，再取并集，
即得所求．
（3）证法一：先求出fn（xn）和fn+1（xn+1）的解析式，再由当xn+1∈时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）=+xn+1-1＜+xn+1-1=fn（xn+1），且
fn（x）在区间内单调递增，故有xn＜xn+1，从而得出结论．
证法二：设xn是fn（x）=xn+x-1在内的唯一零点，由fn+1（xn） fn+1（1）＜0可得 fn+1（x）的零点在（xn，1）内，从而有 xn＜xn+1 （n≥2），由此得出结论．
解答：解：（1）由于n≥2，b=1，c=-1，fn（x）=xn+bx+c=xn+x-1，∴fn（）fn（1）=（-）×1＜0，
∴fn（x）在区间内存在零点．再由fn（x）在区间内单调递增，可得fn（x）在区间内存在唯一的零点．
（2）当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，故函数f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值的差M≤4．
当＞1时，即b＞2或 b＜-2时，M=|f2（-1）-f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾．
当-1≤-＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）-=≤4 恒成立．
当0≤-≤1 时，即-2≤b≤0时，M=f2（-1）-=≤4 恒成立．
综上可得，-2≤b≤2．
（3）证法一：在（1）的条件下，xn是fn（x）=xn+x-1在内的唯一零点，则有fn（xn）=+xn-1=0，
fn+1（xn+1）=+xn+1-1=0．
当xn+1∈时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）=+xn+1-1＜+xn+1-1=fn（xn+1）．
由（1）知，fn（x）在区间内单调递增，故有xn＜xn+1，故数列x2，x3，…，xn单调递增数列．
证法二：设xn是fn（x）=xn+x-1在内的唯一零点，fn+1（xn） fn+1（1）=（+xn-1）×1=+xn-1＜+xn-1=0，
故fn+1（x）的零点在（xn，1）内，∴xn＜xn+1 （n≥2），故数列x2，x3，…，xn单调递增数列．
点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，树立与函数的综合，体现了分类讨论、化归与转化的数学思想，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
设函数fn（x）=xn+x-1，其中n∈N*，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f3（x）在区间（
1
2
，1）内不存在零点；
②函数f4（x）在区间（
1
2
，1）内存在唯一零点；
③设xn（n＞4）为函数fn（x）在区间（
1
2
，1）内的零点，则xn＜xn+1．
其中所有正确结论的序号为
②③
②③
．
设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）
（1）设n＞2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间（
35
，1）内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，|fn（-1）|≤1，|fn（1）|≤1，求3b+c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤9，求b的取值范围．
设函数fn（x）=1+
x
1!
+
x2
2!
+…+
xn
n!
，n∈N*．
（1）证明：e-xf3（x）≤1；
（2）证明：当n为偶数时，函数y=fn（x）的图象与x轴无交点；当n为奇数时，函数y=fn（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
设函数fn（x）=xn+x-1，其中n∈N*，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f3（x）在区间（
1
2
，1）内不存在零点；
②函数f4（x）在区间（
1
2
，1）内存在唯一零点；
③设xn（n＞4）为函数fn（x）在区间（
1
2
，1）内的零点，则xn＜xn+1．
其中所有正确结论的序号为______．

设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）。
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间内存在唯一的零点；
（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设xn是fn（x）在内的零点，判断数列x2，x3，…，xn…的增减性。