Question

已知数列{a_n}满足（n=1，2，3，…）
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_2n-1•a_2n，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证T_n＜3．

Answer 1

【答案】分析：第一问的求值较容易，只需要依次代入递推公式逐步求出a₃，a₄，a₅，a₆的值，关键是求通项，要注意对n分奇偶数讨论，这样避免一般性解答时遇到麻烦．第二问是典型的等差比数列，方法是错位相减法．
解答：解：（1）分别令n=1，2，3，4
可求得：
当n为奇数时，不妨设n=2m-1，m∈N^*，则a_2m+1-a_2m-1=2．
∴{a_2m-1}为等差数列，∴a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1即a_m=n．
当n为偶数时，设n=2m，m∈N^*，则2a_2m+2-a_2m=0．
∴{a_2m}为等比数列，，故．
综上所述，
（2）
∴
∴，
两式相减：
=
∴，故T_n＜3．
点评：（1）中对n按照奇偶讨论时要对数列的项数把握清楚，否则会因为项数不清导致错误．本题用到的思想方法有分类讨论思想，数列求和的错位相减法，证明不等式的放缩法．