题目内容

已知f（x）=
3
sinωx-2sin2
ωx
2
（ω＞0）的最小正周期为3π．
（Ⅰ）当x∈[
π
2
，
3π
4
]时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．
分析：先利用二倍角公式的变形形式及辅助角公式把函数化简为y=2sin（ωx+
π
6
）-1，根据周期公式可求ω，进而求f（x）
（I）由x的范围求出
2
3
x+
π
6
的范围，结合正弦函数的图象及性质可求
（II）由f(C)=2sin(
2C
3
+
π
6
)-1及f（C）=1可得，sin(
2C
3
+
π
6
)=1，结合已知C的范围可求C及 A+B，代入2sin2B=cosB+cos（A-C），整理可得关于 sinA的方程，解方程可得
解答：解：f(x)=
3
sin(?x)-2•
1-cos(?x)
2
=
3
sin(?x)+cos(?x)-1=2sin(?x+
π
6
)-1
依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即
2π
?
=3π，解得?=
2
3
，
所以f(x)=2sin(
2
3
x+
π
6
)-1
（Ⅰ）由
π
2
≤x≤
3π
4
得
π
2
≤
2
3
x+
π
6
≤
2π
3
，
所以，当sin(
2
3
x+
π
6
)=
3
2
时，f(x)最小值=2×
3
2
-1=
3
-1
（Ⅱ）由f(C)=2sin(
2C
3
+
π
6
)-1及f（C）=1，得sin(
2C
3
+
π
6
)=1
而
π
2
≤
2
3
C+
π
6
≤
2π
3
，所以
2
3
C+
π
6
=
π
2
，解得C=
π
2

在Rt△ABC中，∵ A+B=
π
2
，2sin2B=cosB+cos（A-C）2cos2A-sinA-sinA=0，
∴sin2A+sinA-1=0，解得sinA=
-1±
5
2
∵0＜sinA＜1，∴ sinA=
5
-1
2
点评：以三角形为载体，综合考查了二倍角公式的变形形式，辅助角公式在三角函数化简中的应用，考查了三角函数的性质（周期、单调区间、最值取得的条件）时常把ωx+φ作为一个整体．
练习册系列答案
相关题目
（文）已知f（x）=3sin（
π
2
x+
π
3
），则下列不等式中正确的是（　　）
下列结论中正确结论的序号是
（2）（3）
（2）（3）
．
（1）函数y=sinx在第一象限单调递增；
（2）函数f（x）=sin（
2x
3
+
7π
2
）是偶函数；
（3）已知f（x）=3sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜π），且对任意实数t都有f（t+
π
3
）=f（
π
3
-t），设g（x）=3cos（ωx+φ）-1，则g（
π
3
）=-1
（4）设α，β是锐角三角形两个内角，则sinα＜cosβ．
已知f（x）=3sin（2x-
π6
），若存在α∈（0，π），使f（α+x）=f（α-x）对一切实数x恒成立，则α=
 
．
已知f（x）=3sin（2x+
π
3
）．
（1）用“五点法”画函数y=3sin（2x+
π
3
），x∈[-
π
6
，
5π
6
]的图象．（只需列表即可，不用描点连线）
（2）求函数f（x）=3sin（2x+
π
3
）在x∈[-π，π]的单调递减区间．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网